位相数学です。写真の(2)以降をお願いします。

Writer: admin Type: schwart Date: 2019-02-11 00:00
位相数学です。写真の(2)以降をお願いします。###mur********さん(2)(X,T) がハウスドルフであることから, 異なる任意の a,b∈A についてa∈V, b∈WV∩W=Φ (空集合の意味)これをみたす (X,T) の開集合 V,W が存在する.そうすると(A∩V)∩(A∩W)=A∩(V∩W)=A∩Φ=空集合A∩V, A∩W はそれぞれが a,b を含む (A,T_A) の開集合であるから, (A,T_A) はハウスドルフである.(2)ユークリッド距離を入れた1次元ユークリッド空間 R において, 有界閉集合はコンパクトである. したがって, 閉区間 [-1,1]=X は R の部分位相空間 (X,T) としてコンパクトである. 開区間 (0,1)=A⊆[-1,1] は R においてコンパクトではない. したがって, X からつくった (A,T_A) はコンパクトではない.(3)ユークリッド距離を入れた1次元ユークリッド空間 R は連結である. なぜならば, 異なる2個の開集合に分けられないから. (あるいは, R の異なる任意の2点は線分で結ぶことができるから弧状連結であり, 弧状連結ならば連結であるから)さて, 整数全体 Z⊂R を A とすると, A=Z の任意の点 (整数) には十分小さい R の開区間によって他の A の開区間と交わらないようにできる. (A,T_A) の開集合は A=Z の部分集合である. そうするとA={x∈Z|x<0}∪{x∈Z|x≧0}と表されて, {x∈Z|x<0}, {x∈Z|x≧0} はともに開集合であり, かつ{x∈Z|x<0}∩{x∈Z|x≧0}=Φゆえに, (A,T_A) は連結ではない.ナイス0

 

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