極座標表示した時の曲線の長さの問題なのです

Writer: admin Type: schwart Date: 2019-02-07 00:00
極座標表示した時の曲線の長さの問題なのですが、わかるかたいらっしゃいますか?###(dL)²=(dx)²+(dy)²でdL=√{(dx)² +(dy)²}極座標r² =x²+y²x=rcosθy=rsinθでdx=cosθdr-rsinθdθdy=sinθdr+rcosθdθ(dx)²+(dy)²=(cosθdr)²-2rsinθcosθ+(rsinθdθ)²+(sinθdr)²+2rsinθcosθ+(rcosθdθ)²=(sin²θ+cos²θ)(dr)²+ (sin²θ+cos²θ)(rdθ)²= (dr)²+(rdθ)²よってdL=√{(dr)²+(rdθ)²}=√{r²+(dr/dθ)²} dθよって極座標のLはL=∫ √{r²+(dr/dθ)²} dθこの問題ではr=√(cos(2θ))でr²=cos(2θ)dr/dθ=-sin(2θ)/√(cos(2θ))だからr²+(dr/dθ)²= (cos(2θ)) + (sin²(2θ)/(cos(2θ)={cos ²(2θ)+sin²(2θ)}/cos(2θ)=1/cos(2θ)だからL=∫√{r²+(dr/dθ)²} dθ=∫1/√(cos(2θ))dθcosは偶関数だから∫[-π/4→π/4]1/√(cos(2θ))dθ=2 ∫[0→π/4] 1/√(cos(2θ))dθ2θ=φ と置換dθ=dφ/2θ=π/4→φ=π/2よって2 ∫[0→π/4] 1/√(cos(2θ))dθ= ∫[0→π/2] 1/√(cos(φ))dφここでφ→-φと変換∫[0→-π/2] 1/√(cos(-φ))d(-φ)= -∫[0→-π/2] 1/√(cos(φ))dφ= ∫[-π/2→0] 1/√(cos(φ))dφ最後にφ=t-π/2と変換cosφ=cos(t-π/2)=costcos (π/2)+sin(t)sin(π/2)=sintφ=-π/2→t=0φ=0→t=π/2よって∫[0→π/2]1/√(sint) dt になるちなみに∫1/√(sint) dt は 初等関数で積分出来ません数値計算で∫[0→π/2]1/√(sint) dt ≒2.62206ナイス0

 

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